Санамсаргүй хувьсагч ба Магадлалын тархалт
Статистик туршилтууд нь тодорхой үр дүнгийн дагуу тодорхойгүй хугацаагаар давтагдах санамсаргүй туршилтууд юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн болон магадлалын тархалт хоёулаа ийм туршилтуудтай холбоотой байдаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн бүрийн хувьд хуримтлагдсан тархалтын функц гэж нэрлэгддэг функцээр тодорхойлогдсон холбоотой магадлалын тархалт байна.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж юу вэ?
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь статистик туршилтын үр дүнд тоон утгыг оноодог функц юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь статистик туршилтын түүврийн орон зайгаас бодит тооны олонлогт тодорхойлогдсон функц юм.
Жишээ нь зоосыг хоёр удаа эргүүлэх санамсаргүй туршилтыг авч үзье. Боломжит үр дагавар нь HH, HT, TH болон TT (H - толгой, T - үлгэр). X хувьсагчийг туршилтанд ажиглагдсан толгойн тоо гэж үзье. Дараа нь X нь 0, 1 эсвэл 2 утгыг авч болох бөгөөд энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Энд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь S={HH, HT, TH, TT} олонлогийг (түүврийн орон зай) {0, 1, 2} олонлогт HH-ийг 2, HT, TH гэж дүрсэлсэн байдлаар буулгана. 1 болон TT-ийг 0 гэж тэмдэглэнэ. Функцийн тэмдэглэгээнд үүнийг X: S → R гэж бичиж болно, X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 ба X(TT)=0.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь салангид ба тасралтгүй гэсэн хоёр төрөлтэй, үүний дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүний тооцож болох боломжит утгуудын тоог дээд тал нь тоолох боломжтой эсвэл үгүй. Өмнөх жишээнд {0, 1, 2} нь хязгаарлагдмал олонлог тул X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Одоо нэг ангийн сурагчдын жинг олох статистик туршилтыг авч үзье. Оюутны жин гэж тодорхойлсон санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг Y гэж үзье. Y нь тодорхой интервал дотор ямар ч бодит утгыг авч болно. Тиймээс Y нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.
Магадлалын тархалт гэж юу вэ?
Магадлалын тархалт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тодорхой утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог функц юм.
Хуримтлагдсан тархалтын функц (F) гэж нэрлэгддэг функцийг бодит тоонуудын олонлогоос бодит тооны олонлог хүртэлх F(x)=P(X ≤ x) (X-ийн магадлал нь эсвэл түүнээс бага байх) гэж тодорхойлж болно. x-тэй тэнцүү) боломжит үр дүн бүрийн хувьд x. Одоо эхний жишээн дээрх X-ийн хуримтлагдсан тархалтын функцийг F(a)=0 гэж бичиж болно, хэрэв a<0; F(a)=0.25, хэрэв 0≤a<1; F(a)=0.75, хэрэв 1≤a<2 ба F(a)=1 бол a≥2 бол.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд функцийг боломжит үр дүнгийн олонлогоос бодит тоонуудын олонлог хүртэлх ƒ(x)=P(X=x) (X-ийн магадлал) байхаар тодорхойлж болно. x-тэй тэнцүү байх) боломжит үр дүн бүрийн хувьд x. Энэ ƒ функцийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын массын функц гэж нэрлэдэг. Одоо эхний тодорхой жишээн дээрх X-ийн магадлалын массын функцийг ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25, өөрөөр ƒ(x)=0 гэж бичиж болно. Иймд магадлалын массын функц нь хуримтлагдсан тархалтын функцийн хамт эхний жишээнд X-ийн магадлалын тархалтыг тайлбарлах болно.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд магадлалын нягтын функц (ƒ) гэж нэрлэгддэг функцийг x тус бүрийн хувьд ƒ(x)=dF(x)/dx гэж тодорхойлж болно. Энд F нь тоон үзүүлэлтүүдийн хуримтлагдсан тархалтын функц юм. тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Энэ функц нь ∫ƒ(x)dx=1-ийг хангаж байгааг харахад хялбар байдаг. Магадлалын нягтын функц нь хуримтлагдсан тархалтын функцийн хамт тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг тодорхойлдог. Жишээлбэл, хэвийн тархалтыг (энэ нь тасралтгүй магадлалын тархалт юм) магадлалын нягтын функц ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x-)-ийг ашиглан тайлбарлав. µ)]2/(2σ2)).
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба магадлалын тархалт юугаараа ялгаатай вэ?
• Санамсаргүй хувьсагч нь түүврийн орон зайн утгыг бодит тоотой холбодог функц юм.
• Магадлалын тархалт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний авч болох утгуудыг тохиолдох магадлалд холбодог функц юм.
