Магадлалын тархалтын функц ба Магадлалын нягтын функц
Магадлал гэдэг нь ямар нэгэн үйл явдал болох магадлал юм. Энэ санаа нь маш түгээмэл бөгөөд бид өөрсдийн боломж, гүйлгээ болон бусад олон зүйлийг үнэлэхэд өдөр тутмын амьдралдаа байнга хэрэглэгддэг. Энэхүү энгийн ойлголтыг өргөн хүрээний үйл явдал болгон өргөжүүлэх нь арай илүү төвөгтэй юм. Жишээлбэл, бид сугалаанд хожих магадлалыг хялбархан тодорхойлж чадахгүй ч шидэгдсэн шооноос зургаагийн нэг нь зургаа авах магадлалтай гэж хэлэхэд тохиромжтой, ойлгомжтой юм.
Болж болох үйл явдлуудын тоо ихсэх эсвэл хувь хүний боломжуудын тоо ихсэх үед магадлалын талаарх энэхүү энгийн санаа бүтэлгүйтдэг. Иймд илүү нарийн төвөгтэй асуудалд хандахаасаа өмнө математикийн хатуу тодорхойлолтыг өгөх шаардлагатай.
Нэг нөхцөл байдалд тохиолдож болох үйл явдлын тоо их байвал шоо хаясан жишээ шиг үйл явдал бүрийг тус тусад нь авч үзэх боломжгүй. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголтыг оруулснаар үйл явдлын бүх багцыг нэгтгэн дүгнэв. Энэ нь тухайн нөхцөл байдалд (эсвэл түүврийн орон зай) янз бүрийн үйл явдлын утгыг авч болох хувьсагч юм. Энэ нь нөхцөл байдалд байгаа энгийн үйл явдлуудын математик ойлголт, үйл явдлыг шийдвэрлэх математик аргыг өгдөг. Илүү нарийвчлалтайгаар санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүврийн орон зайн элементүүдийн бодит утгын функц юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь салангид эсвэл тасралтгүй байж болно. Тэдгээрийг ихэвчлэн англи цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэдэг.
Магадлалын тархалтын функц (эсвэл энгийнээр хэлбэл магадлалын тархалт) нь үйл явдал бүрийн магадлалын утгыг оноодог функц юм; өөрөөр хэлбэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний авч чадах утгуудын магадлалын хамаарлыг харуулдаг. Магадлалын тархалтын функц нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд тодорхойлогддог.
Магадлалын нягтын функц нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн магадлалын тархалтын функцийн эквивалент бөгөөд тодорхой санамсаргүй хэмжигдэхүүн тодорхой утгыг авах магадлалыг өгдөг.
Хэрэв X нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол X-ийн муж дахь х тус бүрийн хувьд f (x)=P (X=x) гэж өгөгдсөн функцийг магадлалын тархалтын функц гэнэ. Функц нь зөвхөн дараах нөхцлийг хангасан тохиолдолд магадлалын тархалтын функц болж чадна.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Бодит тоонуудын олонлог дээр тодорхойлогдсон f (x) функцийг X тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын функц гэнэ.
P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx a ба b бодит тогтмолуудын хувьд.
Магадлалын нягтын функц нь дараах нөхцлүүдийг мөн хангасан байх ёстой.
1. Бүх x-д f (x) ≥ 0: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Магадлалын тархалтын функц болон магадлалын нягтын функцийг хоёуланг нь түүврийн орон зай дээрх магадлалын тархалтыг илэрхийлэхэд ашигладаг. Эдгээрийг ихэвчлэн магадлалын тархалт гэж нэрлэдэг.
Статистик загварчлалын хувьд стандарт магадлалын нягтын функц болон магадлалын тархалтын функцуудыг гаргаж авсан. Хэвийн тархалт ба стандарт хэвийн тархалт нь тасралтгүй магадлалын тархалтын жишээ юм. Хоёртын тархалт ба Пуассоны тархалт нь салангид магадлалын тархалтын жишээ юм.
Магадлалын тархалт ба магадлалын нягтын функцийн ялгаа нь юу вэ?
• Магадлалын тархалтын функц ба магадлалын нягтын функц нь элемент бүрт холбогдох магадлалын утгыг оноохын тулд түүврийн орон зайд тодорхойлогдсон функцууд юм.
• Магадлалын тархалтын функцийг салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд тодорхойлсон бол магадлалын нягтын функцийг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд тодорхойлсон.
• Магадлалын утгуудын тархалтыг (жишээ нь: магадлалын тархалт) магадлалын нягтын функц болон магадлалын тархалтын функцээр хамгийн сайн дүрсэлдэг.
• Магадлалын тархалтын функцийг хүснэгтэд утга хэлбэрээр дүрсэлж болох боловч хувьсагч тасралтгүй байдаг тул магадлалын нягтын функцэд энэ боломжгүй.
• График хийх үед магадлалын тархалтын функц нь зураасан график, магадлалын нягтын функц муруй өгдөг.
• Магадлалын тархалтын функцийн баарны өндөр/уртыг 1-д нэмэх ба магадлалын нягтын функцын муруй доорх талбайг 1-д нэмэх ёстой.
• Аль ч тохиолдолд функцын бүх утга сөрөг биш байх ёстой.
