Параллелограмм ба дөрвөлжин
Дөрвөн өнцөгт ба параллелограммууд нь Евклидийн геометрт байдаг олон өнцөгтүүд юм. Параллелограмм нь дөрвөн өнцөгтийн онцгой тохиолдол юм. Дөрвөн өнцөгт нь хавтгай (2D) эсвэл 3 хэмжээст байж болно, харин параллелограммууд үргэлж хавтгай байна.
Дөрвөлжин
Дөрвөн өнцөгт нь дөрвөн талтай олон өнцөгт юм. Энэ нь дөрвөн оройтой бөгөөд дотоод өнцгийн нийлбэр нь 3600 (2π рад) юм. Дөрвөн өнцөгтийг өөрөө огтлолцдог ба энгийн дөрвөн өнцөгт гэж ангилдаг. Өөрөө огтлолцдог дөрвөлжин нь хоёр ба түүнээс дээш тал нь хоорондоо огтлолцсон, жижиг геометрийн дүрсүүд (дөрвөлжин дотор гурвалжин үүсдэг гэх мэт) байдаг.
Энгийн дөрвөн өнцөгтийг мөн гүдгэр ба хотгор дөрвөн өнцөгт гэж хуваадаг. Энэх дөрвөн өнцөгт нь зэргэлдээ талуудтай бөгөөд зургийн дотор рефлекс өнцөг үүсгэдэг. Дотор нь рефлекс өнцөггүй энгийн дөрвөн өнцөгт нь гүдгэр дөрвөн өнцөгт юм. Гүдгэр дөрвөн өнцөгт нь ямагт моодтой байж болно.
Дөрвөн өнцөгтийн геометрийн эхний түвшний гол хэсэг нь гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг. Зарим дөрвөн өнцөгт нь бага сургуулийн үеэс бидэнд танил болсон. Дараах диаграмм нь янз бүрийн гүдгэр дөрвөн өнцөгтийг харуулсан байна.
Параллелограмм
Параллелограммыг дөрвөн талтай, эсрэг тал нь хоорондоо параллель геометрийн дүрс гэж тодорхойлж болно. Илүү нарийвчлалтай бол энэ нь хоёр хос зэрэгцээ талтай дөрвөлжин юм. Энэхүү зэрэгцээ шинж чанар нь параллелограммд олон геометрийн шинж чанарыг өгдөг.
Дараах геометрийн шинж чанарууд олдвол дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм юм.
• Хоёр хос эсрэг талын урт нь тэнцүү байна. (AB=DC, AD=BC)
• Хоёр хос эсрэг талын өнцгийн хэмжээ тэнцүү байна. ([латекс]D\малгай{A}B=B\малгай{C}D, A\малгай{D}C=A\малгай{B}C[/латекс])
• Хэрэв зэргэлдээх өнцөг нь нэмэлт байвал [латекс]D\hat{A}B + A\малгай{D}C=A\малгай{D}C + B\малгай{C}D=B\малгай {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi рад[/latex]
• Эсрэг тал нь параллель бөгөөд уртаараа тэнцүү байна. (AB=DC & AB∥DC)
• Диагональууд бие биенээ хуваадаг (AO=OC, BO=OD)
• Диагональ бүр нь дөрвөн өнцөгтийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваана. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Цаашилбал талуудын квадратуудын нийлбэр нь диагональуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Үүнийг заримдаа параллелограммын хууль гэж нэрлэдэг бөгөөд физик, инженерчлэлд өргөн хэрэглэгддэг. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Дөрвөн өнцөгт параллелограмм болох нь тогтоогдсоны дараа дээрх шинж чанаруудыг шинж чанар болгон ашиглаж болно.
Параллелограммын талбайг нэг талын урт ба эсрэг талын өндрийн үржвэрээр тооцоолж болно. Тиймээс параллелограммын талбайггэж тодорхойлж болно.
Параллелограммын талбай=суурь × өндөр=AB×h
Параллелограммын талбай нь тус тусдаа параллелограммын хэлбэрээс үл хамаарна. Энэ нь зөвхөн суурийн урт ба перпендикуляр өндрөөс хамаарна.
Хэрэв параллелограммын талуудыг хоёр вектороор дүрсэлж чадвал талбайг зэргэлдээх хоёр векторын вектор үржвэрийн (хөндлөн үржвэр) хэмжээгээр гаргаж болно.
Хэрэв AB ба AD талуудыг ([латекс]\overrightarrow{AB}[/latex]) ба ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) вектороор тус тус төлөөлсөн бол параллелограммыг [латекс]\left | гэж өгөгдсөн \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/латекс], энд α нь [латекс]\overrightarrow{AB}[/latex] ба [латекс]\overrightarrow{AD}[/латекс] хоорондын өнцөг.
Дараах нь параллелограммын зарим дэвшилтэт шинж чанарууд юм;
• Параллелограммын талбай нь түүний диагональуудын аль нэгээр нь үүсгэсэн гурвалжны талбайгаас хоёр дахин их байна.
• Параллелограммын талбайг дунд цэгийг дайран өнгөрөх дурын шугамаар хагасаар хуваана.
• Аливаа доройтдоггүй аффины хувиргалт нь параллелограммыг өөр параллелограмм руу авдаг
• Параллелограмм нь 2-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэмтэй
• Параллелограммын дотоод цэгээс хажуу талууд хүртэлх зайны нийлбэр нь цэгийн байршлаас үл хамаарна
Параллелограмм ба дөрвөлжин хоёрын ялгаа нь юу вэ?
• Дөрвөн өнцөгт нь дөрвөн талтай олон өнцөгт (заримдаа тетрагон гэж нэрлэдэг) бөгөөд параллелограмм нь дөрвөн өнцөгтийн тусгай төрөл юм.
• Параллелограммын бүх талууд нэг хавтгайд (хавтгай/ 2 хэмжээст) байх үед дөрвөлжин талууд өөр өөр хавтгайд (3 хэмжээст орон зайд) байж болно.
• Дөрвөн өнцөгтийн дотоод өнцөг нь 3600 хүртэл нийлбэртэй ямар ч утгыг (рефлексийн өнцгийг оруулаад) авч болно. Параллелограммууд нь зөвхөн хамгийн дээд өнцгийн төрөл болох мохоо өнцөгтэй байж болно.
• Дөрвөн өнцөгтийн дөрвөн тал нь өөр өөр урттай байж болох ба параллелограммын эсрэг талууд үргэлж хоорондоо параллель бөгөөд уртаараа тэнцүү байна.
• Аливаа диагональ нь параллелограммыг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваадаг бол ерөнхий дөрвөлжингийн диагональаас үүссэн гурвалжнууд нь заавал тохирч байх албагүй.
