Параллелограмм ба Тэгш өнцөгт
Параллелограмм ба тэгш өнцөгт нь дөрвөн өнцөгт юм. Эдгээр дүрсүүдийн геометрийг хүн төрөлхтөнд олон мянган жилийн турш мэддэг байсан. Грекийн математикч Евклидийн бичсэн "Элементүүд" номонд энэ сэдвийг тодорхой тусгасан болно.
Параллелограмм
Параллелограммыг дөрвөн талтай, эсрэг тал нь хоорондоо параллель геометрийн дүрс гэж тодорхойлж болно. Илүү нарийвчлалтай бол энэ нь хоёр хос зэрэгцээ талтай дөрвөлжин юм. Энэхүү зэрэгцээ шинж чанар нь параллелограммд олон геометрийн шинж чанарыг өгдөг.
Дараах геометрийн шинж чанарууд олдвол дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм юм.
• Хоёр хос эсрэг талын урт нь тэнцүү байна. (AB=DC, AD=BC)
• Хоёр хос эсрэг талын өнцгийн хэмжээ тэнцүү байна. ([латекс]D\малгай{A}B=B\малгай{C}D, A\малгай{D}C=A\малгай{B}C[/латекс])
• Хэрэв зэргэлдээх өнцөг нь нэмэлт байвал [латекс]D\hat{A}B + A\малгай{D}C=A\малгай{D}C + B\малгай{C}D=B\малгай {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi рад[/latex]
• Эсрэг тал нь параллель бөгөөд уртаараа тэнцүү байна. (AB=DC & AB∥DC)
• Диагональууд бие биенээ хуваадаг (AO=OC, BO=OD)
• Диагональ бүр нь дөрвөн өнцөгтийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваана. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Цаашилбал талуудын квадратуудын нийлбэр нь диагональуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Үүнийг заримдаа параллелограммын хууль гэж нэрлэдэг бөгөөд физик, инженерчлэлд өргөн хэрэглэгддэг. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Дөрвөн өнцөгт параллелограмм болох нь тогтоогдсоны дараа дээрх шинж чанаруудыг шинж чанар болгон ашиглаж болно.
Параллелограммын талбайг нэг талын урт ба эсрэг талын өндрийн үржвэрээр тооцоолж болно. Тиймээс параллелограммын талбайггэж тодорхойлж болно.
Параллелограммын талбай=суурь × өндөр=AB×h
Параллелограммын талбай нь тус тусдаа параллелограммын хэлбэрээс үл хамаарна. Энэ нь зөвхөн суурийн урт ба перпендикуляр өндрөөс хамаарна.
Хэрэв параллелограммын талуудыг хоёр вектороор дүрсэлж чадвал талбайг зэргэлдээх хоёр векторын вектор үржвэрийн (хөндлөн үржвэр) хэмжээгээр гаргаж болно.
Хэрэв AB ба AD талуудыг ([латекс]\overrightarrow{AB}[/latex]) ба ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) вектороор тус тус төлөөлсөн бол параллелограммыг [латекс]\left | гэж өгөгдсөн \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/латекс], энд α нь [латекс]\overrightarrow{AB}[/latex] ба [латекс]\overrightarrow{AD}[/латекс] хоорондын өнцөг.
Дараах нь параллелограммын зарим дэвшилтэт шинж чанарууд юм;
• Параллелограммын талбай нь түүний диагональуудын аль нэгээр нь үүсгэсэн гурвалжны талбайгаас хоёр дахин их байна.
• Параллелограммын талбайг дунд цэгийг дайран өнгөрөх дурын шугамаар хагасаар хуваана.
• Аливаа доройтдоггүй аффины хувиргалт нь параллелограммыг өөр параллелограмм руу авдаг
• Параллелограмм нь 2-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэмтэй
• Параллелограммын дотоод цэгээс хажуу талууд хүртэлх зайны нийлбэр нь цэгийн байршлаас үл хамаарна
Тэгш өнцөгт
Дөрвөн тэгш өнцөгт дөрвөн өнцөгтийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Энэ нь параллелограммын онцгой тохиолдол бөгөөд зэргэлдээх хоёр талын хоорондох өнцөг нь зөв өнцөгтэй байна.
Тэгш өнцөгтийн геометрийг авч үзэхэд параллелограммын бүх шинж чанараас гадна нэмэлт шинж чанаруудыг таньж болно.
• Оройн дээрх өнцөг бүр нь зөв өнцөг юм.
• Диагональууд нь ижил урттай бөгөөд бие биенээ хоёр хуваасан. Тиймээс хоёр хуваагдсан хэсгүүд нь мөн адил урттай байна.
• Диагональуудын уртыг Пифагорын теоремыг ашиглан тооцоолж болно:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Талбайн томьёо нь урт ба өргөний үржвэр болгон бууруулна.
Тэгш өнцөгтийн талбай=урт × өргөн
• Тэгш өнцөгт дээр олон тэгш хэмтэй шинж чанарууд байдаг, жишээлбэл;
– Тэгш өнцөгт нь дугуй хэлбэртэй бөгөөд бүх оройг тойргийн периметр дээр байрлуулж болно.
– Энэ нь тэгш өнцөгт бөгөөд бүх өнцөг нь тэнцүү байна.
– Энэ нь бүх өнцөг нь ижил тэгш хэмийн тойрог замд байрладаг изогональ юм.
– Энэ нь тусгалын тэгш хэмтэй ба эргэлтийн тэгш хэмтэй.
Параллелограмм ба Тэгш өнцөгт хоёрын ялгаа нь юу вэ?
• Параллелограмм ба тэгш өнцөгт нь дөрвөн өнцөгт юм. Тэгш өнцөгт нь параллелограммын онцгой тохиолдол юм.
• Дурын талбайг томьёоны суурь ×өндөр ашиглан тооцоолж болно.
• Диагональуудыг авч үзвэл;
– Параллелограммын диагональууд бие биенээ хоёр хувааж, параллелограммыг хоёр хуваагаад хоёр тэнцүү гурвалжин үүсгэнэ.
– Тэгш өнцөгтийн диагональ урт нь тэнцүү бөгөөд бие биенээ хоёр хуваасан; хоёр хуваагдсан хэсгүүдийн урт нь тэнцүү байна. Диагональууд нь тэгш өнцөгтийг хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин болгон хуваадаг.
• Дотоод өнцгийг харгалзан үзэх;
– Параллелограммын эсрэг талын дотоод өнцгүүдийн хэмжээ тэнцүү байна. Хоёр зэргэлдээ дотоод өнцөг нь нэмэлт
– Тэгш өнцөгтийн дөрвөн дотоод өнцөг бүгд тэгш өнцөгт байна.
• Хажуу талыг нь авч үзвэл;
– Параллелограммын талуудын квадратуудын нийлбэр нь диагоналын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна (Параллелограммын хууль)
– Тэгш өнцөгтүүдэд зэргэлдээх хоёр талын квадратуудын нийлбэр нь төгсгөлийн диагональын квадраттай тэнцүү байна. (Пифагорын дүрэм)
