Параллелограмм ба трапец
Параллелограмм ба трапец (эсвэл трапец) нь хоёр гүдгэр дөрвөн өнцөгт юм. Хэдийгээр эдгээр нь дөрвөлжин боловч трапецын геометр нь параллелограммаас эрс ялгаатай.
Параллелограмм
Параллелограммыг дөрвөн талтай, эсрэг тал нь хоорондоо параллель геометрийн дүрс гэж тодорхойлж болно. Илүү нарийвчлалтай бол энэ нь хоёр хос зэрэгцээ талтай дөрвөлжин юм. Энэхүү зэрэгцээ шинж чанар нь параллелограммд олон геометрийн шинж чанарыг өгдөг.
Дараах геометрийн шинж чанарууд олдвол дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм юм.
• Хоёр хос эсрэг талын урт нь тэнцүү байна. (AB=DC, AD=BC)
• Хоёр хос эсрэг талын өнцгийн хэмжээ тэнцүү байна. ([латекс]D\малгай{A}B=B\малгай{C}D, A\малгай{D}C=A\малгай{B}C[/латекс])
• Хэрэв зэргэлдээх өнцөг нь нэмэлт байвал [латекс]D\hat{A}B + A\малгай{D}C=A\малгай{D}C + B\малгай{C}D=B\малгай {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi рад[/latex]
• Эсрэг тал нь параллель бөгөөд уртаараа тэнцүү байна. (AB=DC & AB∥DC)
• Диагональууд бие биенээ хуваадаг (AO=OC, BO=OD)
• Диагональ бүр нь дөрвөн өнцөгтийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваана. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Цаашилбал талуудын квадратуудын нийлбэр нь диагональуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Үүнийг заримдаа параллелограммын хууль гэж нэрлэдэг бөгөөд физик, инженерчлэлд өргөн хэрэглэгддэг. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Дөрвөн өнцөгт параллелограмм болох нь тогтоогдсоны дараа дээрх шинж чанаруудыг шинж чанар болгон ашиглаж болно.
Параллелограммын талбайг нэг талын урт ба эсрэг талын өндрийн үржвэрээр тооцоолж болно. Тиймээс параллелограммын талбайггэж тодорхойлж болно.
Параллелограммын талбай=суурь × өндөр=AB×h
Параллелограммын талбай нь тус тусдаа параллелограммын хэлбэрээс үл хамаарна. Энэ нь зөвхөн суурийн урт ба перпендикуляр өндрөөс хамаарна.
Хэрэв параллелограммын талуудыг хоёр вектороор дүрсэлж чадвал талбайг зэргэлдээх хоёр векторын вектор үржвэрийн (хөндлөн үржвэр) хэмжээгээр гаргаж болно.
Хэрэв AB ба AD талуудыг ([латекс]\overrightarrow{AB}[/latex]) ба ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) вектороор тус тус төлөөлсөн бол параллелограммыг [латекс]\left | гэж өгөгдсөн \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/латекс], энд α нь [латекс]\overrightarrow{AB}[/latex] ба [латекс]\overrightarrow{AD}[/latex] хоорондын өнцөг юм.
Дараах нь параллелограммын зарим дэвшилтэт шинж чанарууд юм;
• Параллелограммын талбай нь түүний диагональуудын аль нэгээр нь үүсгэсэн гурвалжны талбайгаас хоёр дахин их байна.
• Параллелограммын талбайг дунд цэгийг дайран өнгөрөх дурын шугамаар хагасаар хуваана.
• Аливаа доройтдоггүй аффины хувиргалт нь параллелограммыг өөр параллелограмм руу авдаг
• Параллелограмм нь 2-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэмтэй
• Параллелограммын дотоод цэгээс хажуу талууд хүртэлх зайны нийлбэр нь цэгийн байршлаас үл хамаарна
Трапец
Трапец (эсвэл Британийн англиар Trapezium) нь гүдгэр дөрвөлжин бөгөөд хамгийн багадаа хоёр тал нь параллель, урт нь тэнцүү биш байдаг. Трапецын зэрэгцээ талуудыг суурь, нөгөө хоёр талыг хөл гэж нэрлэдэг.
Дараах нь трапецын үндсэн шинж чанарууд юм;
• Хэрэв зэргэлдээх өнцгүүд нь трапецын нэг суурь дээр байхгүй бол тэдгээр нь нэмэлт өнцөг болно. өөрөөр хэлбэл тэд 180° хүртэл нийлдэг ([латекс]B\hat{A}D+A\малгай{D}C=A\малгай{B}C+B\малгай{C}D=180^{circ}[/латекс])
• Трапецын диагональ хоёулаа ижил харьцаатай огтлолцдог (диагональуудын огтлолын харьцаа тэнцүү).
• Хэрэв a ба b нь суурь, c, d нь хөл бол диагональуудын уртыг-ээр тодорхойлно.
[латекс]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latex]
болон
[латекс]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
Трапецын талбайг дараах томъёогоор тооцоолж болно
Трапецын талбай=[латекс]\frac{a+b}{2}\times h[/latex]
Параллелограмм ба трапец (трапец) хоёрын ялгаа нь юу вэ?
• Параллелограмм болон трапецын аль аль нь гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй байна.
• Параллелограммд эсрэг талын хоёр хос зэрэгцээ, трапецын хувьд зөвхөн хос нь зэрэгцээ байна.
• Параллелограммын диагональууд бие биенээ хоёр хуваадаг (1:1 харьцаа), трапецын диагональууд нь хэсгүүдийн хооронд тогтмол харьцаатай огтлолцдог.
• Параллелограммын талбай нь өндөр ба сууринаас, харин трапецын талбай нь өндөр ба дунд хэсгийн сегментээс хамаарна.
• Параллелограммын диагональаас үүссэн хоёр гурвалжин үргэлж тэнцүү байх ба трапецын гурвалжнууд нь хоорондоо тохирч эсвэл тохирохгүй байж болно.
