дериватив ба интеграл
Ялгаварлах ба интеграцчилал нь Тооцооллын үндсэн хоёр үйлдэл юм. Тэд математик, инженерчлэл, физик зэрэг хэд хэдэн салбарт олон тооны хэрэглээтэй. Дериватив болон интеграл аль аль нь бидний сонирхож буй бие махбодийн үйл ажиллагаа эсвэл зан төлөвийг хэлэлцдэг.
Дериватив гэж юу вэ?
y=ƒ(x) ба x0 нь ƒ-ийн домэйнд байна гэж бодъё. Дараа нь limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx-ийг x0 үед ƒ-ийн агшин зуурын өөрчлөлтийн хурд гэнэ., энэ хязгаар хязгаарлагдмал байгаа тохиолдолд. Энэ хязгаарыг at-ийн дериватив гэж нэрлэдэг ба ƒ(x)-ээр тэмдэглэнэ.
Функцийн муж дахь дурын х цэг дэх f функцийн деривативын утгыг limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Үүнийг дараах илэрхийллүүдийн аль нэгээр нь тэмдэглэнэ: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Хэд хэдэн хувьсагчтай функцүүдийн хувьд бид хэсэгчилсэн деривативыг тодорхойлно. Хэд хэдэн хувьсагчтай функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь бусад хувьсагчдыг тогтмол гэж үзвэл тэдгээр хувьсагчийн аль нэгэнд хамаарах дериватив юм. Хэсэгчилсэн деривативын тэмдэг нь ∂.
Геометрийн хувьд функцийн деривативыг ƒ(x) функцийн муруйн налуу гэж ойлгож болно.
Интеграл гэж юу вэ?
Интеграци буюу антидифференциал нь ялгах урвуу үйл явц юм. Өөрөөр хэлбэл, уг функцийн дериватив өгөгдсөн үед анхны функцийг олох үйл явц юм. Иймд ƒ(x) функцийн интеграл эсвэл эсрэг деривативыг ƒ(x)=F (x) бол ƒ(x)-ийн муж дахь бүх x функцийн хувьд F (x) функц гэж тодорхойлж болно.
∫ƒ(x) dx илэрхийлэл нь ƒ(x) функцийн деривативыг илэрхийлнэ. Хэрэв ƒ(x)=F (x) бол ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, C нь тогтмол бол ∫ƒ(x) dx-ийг ƒ(x)-ийн тодорхойгүй интеграл гэнэ.
Аливаа ƒ функцийн хувьд сөрөг биш байх албагүй бөгөөд [a, b], a∫b интервалаар тодорхойлогддог. ƒ(x) dx-г [a, b] дээрх тодорхой интеграл ƒ гэнэ.
ƒ(x) функцийн тодорхой интеграл a∫bƒ(x) dx-ийг геометрийн хувьд өгөгдлийн талбай гэж тайлбарлаж болно. ƒ(x) муруй, x тэнхлэг, x=a ба x=b шугамаар хязгаарлагдсан муж.
Дериватив болон интеграл хоёрын ялгаа юу вэ?
• Дериватив нь процессын ялгаварлалын үр дүн, интеграл нь процессын интеграцийн үр дүн юм.
• Функцийн дериватив нь өгөгдсөн цэг дэх муруйны налууг, интеграл нь муруйн доорх талбайг илэрхийлнэ.
