Риман интеграл ба Лебесгийн интеграл хоёрын ялгаа

2024 Зохиолч: Alex Aldridge | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 13:45

Риман интеграл ба Лебесгийн интеграл

Интеграци бол тооцооллын гол сэдэв юм. Илүү өргөн утгаараа интеграцийг ялгах урвуу үйл явц гэж үзэж болно. Бодит асуудлуудыг загварчлахдаа дериватив бүхий илэрхийлэл бичихэд хялбар байдаг. Ийм нөхцөлд тухайн деривативыг өгсөн функцийг олохын тулд интеграцийн үйлдэл шаардлагатай.

Өөр өнцгөөс харахад интеграл гэдэг нь ƒ(x) ба δx функцын үржвэрийг нэгтгэн дүгнэх процесс бөгөөд δx нь тодорхой хязгаар байх хандлагатай байдаг. Ийм учраас бид интеграцийн тэмдгийг ∫ гэж ашигладаг. ∫ тэмдэг нь үнэндээ s үсгийг сунгаж нийлбэрийг заах замаар олж авдаг зүйл юм.

Риман интеграл

y=ƒ(x) функцийг авч үзье. a ба b-ийн хоорондох y-ийн интеграл, a ба b нь x олонлогт хамаарах нь _b ∫ ^a ƒ(x) dx гэж бичигдэнэ.=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Үүнийг a ба b хоорондох y=ƒ(x) нэг утгатай ба тасралтгүй функцийн тодорхой интеграл гэнэ. Энэ нь a ба b хоорондох муруй доорх талбайг өгнө. Үүнийг бас Риманы интеграл гэж нэрлэдэг. Риманы интегралыг Бернхард Риман бүтээсэн. Тасралтгүй функцийн Риманы интеграл нь Жорданы хэмжүүр дээр суурилдаг тул үүнийг функцийн Риманы нийлбэрийн хязгаар гэж бас тодорхойлдог. Хаалттай интервал дээр тодорхойлогдсон бодит утгын функцийн хувьд x₁, x₂, …, x хуваалттай холбоотой функцийн Риманы интеграл. n _{нь [a, b] болон t}1_{, t}2_{, …, t интервал дээр тодорхойлогддог n}, энд x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 тус бүр i ε {1, 2, …, n}, Риманы нийлбэрийг Σ_{i=o-аас n-1} ƒ(t_i гэж тодорхойлно.)(x_i+1 – x_i).

Лебесгийн интеграл

Лебесг бол Риманы интегралаас илүү олон төрлийн тохиолдлыг хамардаг өөр төрлийн интеграл юм. Лебесгийн интегралыг 1902 онд Анри Лебесг нэвтрүүлсэн. Лежгийн интеграцийг Риманы интегралын ерөнхий дүгнэлт гэж үзэж болно.

Бид яагаад өөр интеграл судлах хэрэгтэй байна вэ?

Тэмдэглэлийн функцийг авч үзье ƒ_{A (x)=}{_{0, хэрэв x биш ε A}^{1 хэрэв, x ε A}А олонлог дээр. Дараа нь F (x)=Σ a_{i гэж тодорхойлогддог шинж чанарын функцүүдийн хязгаарлагдмал шугаман хослол. ƒ E} i_{(x) i тус бүрээр E} i _{хэмжигдэхүйц байвал энгийн функц гэнэ. E дээрх F (x)-ийн Лебесгийн интегралыг} E_{∫ ƒ(x)dx гэж тэмдэглэнэ. F (x) функц нь Риманы интеграл биш юм. Тиймээс Лебегийн интеграл нь Риманы интеграл бөгөөд интегралдах функцүүдэд зарим хязгаарлалттай байдаг.}

Риманн интеграл ба Лебесгийн интеграл хоёрын ялгаа нь юу вэ?

· Лебесгийн интеграл нь Риманы интегралын ерөнхий хэлбэр юм.

· Лебесгийн интеграл нь тоолж болох хязгааргүй тасалдлыг зөвшөөрдөг бол Риманы интеграл нь хязгаарлагдмал тооны тасалдлыг зөвшөөрдөг.