Интеграл ба нэгтгэлийн ялгаа

2024 Зохиолч: Alex Aldridge | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 13:45

Интеграци ба Дүгнэлт

Ахлах сургуулийн математикийн хичээлд интеграл болон нийлбэрийг ихэвчлэн математик үйлдлүүдэд олдог. Тэдгээрийг өөр хэрэгсэл болгон, өөр өөр нөхцөл байдалд ашигладаг мэт боловч тэд маш дотно харилцаатай байдаг.

Тогтоолын талаар дэлгэрэнгүй

Нийтлэл гэдэг нь тоонуудын дарааллыг нэмэх үйлдэл бөгөөд энэ үйлдлийг ихэвчлэн Грекийн том сигма Σ үсгээр тэмдэглэдэг. Энэ нь нийлбэрийг товчлоход хэрэглэгддэг ба дарааллын нийлбэр/нийттэй тэнцүү. Тэдгээрийг ихэвчлэн төгсгөлгүй дарааллаар нэгтгэсэн цувралыг төлөөлөхөд ашигладаг. Тэдгээрийг мөн вектор, матриц эсвэл олон гишүүнтийн нийлбэрийг зааж өгөхөд ашиглаж болно.

Нийлбэрийг ихэвчлэн нийтлэг гишүүнтэй цуврал гэх мэт ерөнхий нэр томъёогоор илэрхийлж болох утгын мужид хийдэг. Нийлбэрийн эхлэл ба төгсгөлийн цэгийг нийлбэрийн доод ба дээд хязгаар гэж нэрлэдэг.

Жишээ нь, a₁, a₂, a₃, a дарааллын нийлбэр. ₄, …, a_n нь ₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n бөгөөд нийлбэр тэмдэглэгээг ашиглан ∑ _{гэж хялбархан илэрхийлж болно. i=1} a_{i; i-г нийлбэрийн индекс гэж нэрлэдэг.}

Аппликейшн дээр үндэслэн нийлбэрт олон хувилбарыг ашигладаг. Зарим тохиолдолд дээд болон доод хязгаарыг ∑_1≤i≤100 a_i зэрэг интервал эсвэл муж хэлбэрээр өгч болно. ∑_{i∈[1, 100]} a_i Эсвэл ∑_{i∈P гэх мэт олон тооны тоогоор өгч болно.} a_{i, энд P нь тодорхойлогдсон олонлог юм.}

Зарим тохиолдолд хоёр ба түүнээс дээш сигма тэмдгийг ашиглаж болох боловч тэдгээрийг дараах байдлаар ерөнхийд нь авч үзэж болно; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Мөн нийлбэр нь алгебрийн олон дүрмийг баримталдаг. Суулгасан үйлдэл нь нэмэх үйлдэл учраас алгебрийн олон нийтлэг дүрмийг нийлбэрүүд болон нийлбэрээр дүрсэлсэн бие даасан нэр томъёонд хэрэглэж болно.

Интеграцийн талаар дэлгэрэнгүй

Интеграл нь ялгах урвуу үйл явц гэж тодорхойлогддог. Гэхдээ геометрийн хувьд үүнийг функцийн муруй ба тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн талбай гэж үзэж болно. Тиймээс талбайн тооцоолол нь диаграммд үзүүлсэн шиг тодорхой интегралын утгыг өгнө.

Зургийн эх сурвалж:

Тодорхой интегралын утга нь үнэндээ муруй ба тэнхлэг доторх жижиг туузны нийлбэр юм. Тууз бүрийн талбай нь авч үзсэн тэнхлэг дээрх цэгийн өндөр × өргөн юм. Өргөн гэдэг нь бидний сонгож болох утга, ∆x гэж хэлье. Өндөр нь тооцоолж буй цэг дээрх функцын утгыг хэлнэ f (x_{i). Диаграмаас харахад туузууд бага байх тусам зурвасууд нь хязгаарлагдмал хэсэгт багтах тул утгыг илүү сайн ойртуулах нь тодорхой байна.}

Тиймээс ерөнхийдөө a ба b цэгүүдийн хоорондох тодорхой интеграл I-ийг (жишээ нь a<b [a, b] интервалд) I ≅ f (x_{1) гэж өгч болно.)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, энд n нь туузны тоо (n=(b-a)/∆x). I ∑}i=1 _{f (x}i тул талбайн энэ нийлбэрийг нийлбэр тэмдэглэгээг ашиглан хялбархан илэрхийлж болно.)∆x. Ойролцоогоор ∆x бага байх үед илүү сайн байдаг тул ∆x→0 үед утгыг тооцоолж болно. Иймд I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Дээрх үзэл баримтлалын ерөнхий дүгнэлт болгон бид i-ээр индексжүүлсэн (байрлал дээр тулгуурлан талбайн өргөнийг сонгох) авч үзсэн интервалд үндэслэн ∆x-ийг сонгож болно. Дараа нь бидавна

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Үүнийг [a, b] интервал дахь f (x) функцийн Рейман интеграл гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд a ба b нь интегралын дээд ба доод хязгаар гэж нэрлэгддэг. Рейман интеграл нь бүх интеграцийн аргын үндсэн хэлбэр юм.

Үндсэндээ интеграл гэдэг нь тэгш өнцөгтийн өргөн хязгааргүй бага байх үеийн талбайн нийлбэр юм.

Интеграци ба Дүгнэлт хоёрын ялгаа нь юу вэ?

• Дүгнэлт нь тоонуудын дарааллын нийлбэр юм. Ихэвчлэн нийлбэрийг ∑_i=1 a_{i хэлбэрээр өгдөг. загвартай бөгөөд ерөнхий нэр томъёо ашиглан илэрхийлж болно.}

• Интеграл гэдэг нь үндсэндээ функцийн муруй, тэнхлэг, дээд доод хязгаараар хязгаарлагдсан талбай юм. Энэ талбайг хязгаарлагдмал хэсэгт багтсан хамаагүй бага талбайн нийлбэрээр өгч болно.

• Дүгнэлт нь дээд ба доод хязгаар бүхий салангид утгуудыг агуулна, харин интегралд тасралтгүй утгууд орно.

• Интеграцийг нийлбэрийн тусгай хэлбэр гэж ойлгож болно.

• Тоон тооцооллын аргуудад интегралчлалыг үргэлж нийлбэр байдлаар гүйцэтгэдэг.