Гипербола ба Эллипс
Конусыг янз бүрийн өнцгөөр таслах үед конусын ирмэгээр янз бүрийн муруйг тэмдэглэдэг. Эдгээр муруйг ихэвчлэн конус хэсэг гэж нэрлэдэг. Илүү нарийвчлалтайгаар конус зүсэлт нь зөв дугуй конус гадаргууг хавтгай гадаргуутай огтолж олж авсан муруй юм. Уулзварын өөр өнцгүүдэд өөр өөр конус зүсэлтүүд өгөгдсөн.
Гипербол болон эллипс хоёулаа конус хэсэг бөгөөд тэдгээрийн ялгааг энэ нөхцөлд хялбархан харьцуулж болно.
Элипсийн талаар дэлгэрэнгүй
Шусан гадаргуу ба хавтгай гадаргуугийн огтлолцол нь битүү муруй үүсгэхийг эллипс гэж нэрлэдэг. Энэ нь тэг ба нэг (0<e<1) хооронд хазгай байна. Үүнийг мөн хоёр тогтмол цэгээс цэг хүртэлх зайны нийлбэр тогтмол байхаар хавтгай дээрх цэгүүдийн олонлогийн байрлал гэж тодорхойлж болно. Эдгээр хоёр тогтмол цэгийг "фокус" гэж нэрлэдэг. (Анхан шатны математикийн ангиудад зууван зураасыг хоёр тогтмол зүү эсвэл утсан гогцоо, хоёр зүүгээр холбодог гэдгийг санаарай.)
Голомтыг дайран өнгөрч буй шугамын сегментийг гол тэнхлэг, гол тэнхлэгт перпендикуляр болон эллипсийн төвийг дайран өнгөрөх тэнхлэгийг бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Тэнхлэг бүрийн дагуух диаметрийг хөндлөн диаметр ба коньюгат диаметр гэж нэрлэдэг. Том тэнхлэгийн хагасыг хагас том тэнхлэг, бага тэнхлэгийн талыг хагас бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг.
F1 ба F2 цэг бүрийг эллипсийн голомт гэж нэрлэдэг ба F1 + PF2 =2a, энд P нь эллипс дээрх дурын цэг юм. Фокусаас дурын цэг хүртэлх зай (PF 2) ба чиглүүлэлтээс дурын цэг хүртэлх перпендикуляр зай (PD) хоорондын харьцаагаар хазайлт e тодорхойлогдоно. Энэ нь мөн хоёр голомт ба хагас гол тэнхлэгийн хоорондох зайтай тэнцүү байна: e=PF/PD=f/a
Хагас том тэнхлэг ба хагас бага тэнхлэг нь декартын тэнхлэгтэй давхцах үед эллипсийн ерөнхий тэгшитгэлийг дараах байдлаар өгөгдсөн.
x2/a2 + y2/b2=1
Эллипсийн геометр нь ялангуяа физикт олон хэрэглээтэй. Нарны аймгийн гаригуудын тойрог замууд нь нарны нэг фокус болох эллипс хэлбэртэй байдаг. Антен болон акустик төхөөрөмжүүдийн цацруулагчийг зууван хэлбэрээр хийсэн бөгөөд энэ нь фокусаас үүссэн аливаа ялгаралт нөгөө фокус руу нийлдэг.
Гиперболагийн талаар дэлгэрэнгүй
Гипербола нь мөн конус хэсэг боловч төгсгөл нь нээлттэй. Гипербола гэдэг нэр томьёо нь зурагт үзүүлсэн салангид хоёр муруйг хэлнэ. Гиперболын гар эсвэл мөчрүүд нь эллипс шиг хаагдахын оронд хязгааргүй хүртэл үргэлжилдэг.
Хоёр салаа хооронд хамгийн богино зайтай цэгүүдийг орой гэж нэрлэдэг. Оройнуудыг дайран өнгөрөх шугамыг гол тэнхлэг эсвэл хөндлөн тэнхлэг гэж үздэг бөгөөд энэ нь гиперболын үндсэн тэнхлэгүүдийн нэг юм. Параболагийн хоёр голомт нь мөн гол тэнхлэг дээр байрладаг. Хоёр оройн хоорондох шугамын дунд цэг нь төв, шугамын сегментийн урт нь хагас гол тэнхлэг юм. Хагас гол тэнхлэгийн перпендикуляр биссектриса нь нөгөө гол тэнхлэг бөгөөд гиперболын хоёр муруй нь энэ тэнхлэгийг тойрон тэгш хэмтэй байна. Параболын хазгай нь нэгээс их; e > 1.
Хэрэв үндсэн тэнхлэгүүд нь декартын тэнхлэгүүдтэй давхцаж байвал гиперболын ерөнхий тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна:
x2/a2 – y2/b2=1,
энд a нь хагас гол тэнхлэг, b нь төвөөс аль нэг фокус хүртэлх зай юм.
Х тэнхлэгт чиглэсэн нээлттэй төгсгөлтэй гиперболуудыг зүүн-баруун гипербол гэж нэрлэдэг. Үүнтэй төстэй гиперболыг у тэнхлэг дээр ч авч болно. Эдгээрийг у тэнхлэгийн гиперболууд гэж нэрлэдэг. Ийм гиперболын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.
y2/a2 – x2/b2=1
Гипербола болон Эллипс хоёрын ялгаа юу вэ?
• Зуйван ба гипербол хоёулаа конус хэсэг боловч эллипс нь битүү муруй бөгөөд гипербол нь хоёр нээлттэй муруйгаас бүрдэнэ.
• Иймд эллипс хязгаарлагдмал периметртэй, харин гипербол хязгааргүй урттай.
• Хоёулаа том болон бага тэнхлэгийнхээ эргэн тойронд тэгш хэмтэй боловч директорын байрлал тохиолдол бүрт өөр байна. Зууван дээр хагас том тэнхлэгийн гадна байрладаг бол гиперболд хагас том тэнхлэгт байрладаг.
• Хоёр конус хэсгийн хазайлт өөр байна.
0 <eЭлипс < 1
eГипербола > 0
• Хоёр муруйны ерөнхий тэгшитгэл ижил харагдаж байгаа ч тэдгээр нь өөр.
• Том тэнхлэгийн перпендикуляр биссектриса нь эллипс дэх муруйг огтолдог боловч гиперболд огтлолцдоггүй.
(Зургийн эх сурвалж: Wikipedia)
