Интеграл ба ялгаа
Интеграл ба ялгаварлал нь өөрчлөлтийг судалдаг тооцооллын үндсэн хоёр ойлголт юм. Тооцоолол нь шинжлэх ухаан, эдийн засаг, санхүү, инженерчлэл гэх мэт олон салбарт өргөн хүрээний хэрэглээтэй.
Ялгарал
Ялгавар нь деривативыг тооцоолох алгебрийн процедур юм. Функцийн дериватив нь аль ч цэг дэх муруйн (график) налуу буюу градиент юм. Аливаа өгөгдсөн цэг дээрх муруйны градиент гэдэг нь тухайн цэг дээрх муруй руу татсан шүргэгчийн градиент юм. Шугаман бус муруйнуудын хувьд муруйны градиент нь тэнхлэгийн дагуу өөр өөр цэгүүдэд өөр өөр байж болно. Тиймээс аль ч цэгийн градиент эсвэл налууг тооцоолоход хэцүү байдаг. Ялгах үйл явц нь аль ч цэг дээрх муруйны градиентийг тооцоолоход тустай.
Деривативын өөр нэг тодорхойлолт бол "өөр өмчийн нэгжийн өөрчлөлттэй холбоотой үл хөдлөх хөрөнгийн өөрчлөлт"
f(x) нь бие даасан x хувьсагчийн функц байя. Хэрэв x бие даасан хувьсагчид бага хэмжээний өөрчлөлт (∆x) үүссэн бол f(x) функцэд харгалзах ∆f(x) өөрчлөлт үүснэ; тэгвэл ∆f(x)/∆x харьцаа нь x-тэй харьцуулахад f(x)-ийн өөрчлөлтийн хурдыг хэмждэг. Энэ харьцааны хязгаарын утгыг ∆x тэг рүү чиглэдэг тул lim∆x→0(f(x)/∆x)-ийг f(x) функцийн анхны дериватив гэнэ., x-ийн хувьд; өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн x цэг дэх f(x) агшин зуурын өөрчлөлт.
Интеграци
Интеграл гэдэг нь тодорхой интеграл эсвэл тодорхойгүй интегралыг тооцоолох үйл явц юм. Бодит f(x) функц ба бодит шулуун дээрх битүү интервал [a, b]-ийн хувьд тодорхой интеграл, a∫b f(x), функцийн график, хэвтээ тэнхлэг ба интервалын төгсгөлийн хоёр босоо шугамын хоорондох талбай гэж тодорхойлогддог. Тодорхой интервал өгөөгүй тохиолдолд үүнийг тодорхойгүй интеграл гэж нэрлэдэг. Тодорхой интегралыг эсрэг дериватив ашиглан тооцоолж болно.
Интеграл ба ялгах хоёрын ялгаа нь юу вэ?
Интеграл ба ялгах хоёрын ялгаа нь "квадрат" болон "квадрат язгуур" хоёрын ялгаатай адил юм. Хэрэв бид эерэг тоог квадрат болгож, үр дүнгийн квадрат язгуурыг авбал эерэг квадрат язгуур утга нь таны квадрат болсон тоо болно. Үүний нэгэн адил, хэрэв та тасралтгүй f(x) функцийг ялгах замаар олж авсан үр дүндээ интегралчлалыг хэрэгжүүлбэл энэ нь анхны функц руу буцах ба эсрэгээр.
Жишээ нь, F(x) нь f(x)=x функцийн интеграл байх тул F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, энд c нь дурын тогтмол юм. F(x)-ийг x-ээс ялгахдаа F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, иймээс F(x)-ийн дериватив нь f(-тэй тэнцүү байна. x).
Хураангуй
– Ялгаварлал нь муруйны налууг тооцдог бол интеграл нь муруйн доорх талбайг тооцдог.
– Интеграци нь ялгах урвуу үйл явц ба эсрэгээр.
