Power Series vs Taylor Series
Математикийн хувьд бодит дараалал нь бодит тоонуудын эрэмблэгдсэн жагсаалт юм. Албан ёсоор энэ нь натурал тоонуудын багцаас бодит тоонуудын олонлог хүртэлх функц юм. Хэрэв an нь дарааллын nth гишүүн бол бид дарааллыг 1-ээр эсвэл тэмдэглэнэ., a 2, …, an, …. Жишээ нь 1, ½, ⅓, …, 1 дарааллыг авч үзье. / n, …. Үүнийг {1/n} гэж тэмдэглэж болно.
Цувааг дараалал ашиглан тодорхойлох боломжтой. Цуврал гэдэг нь дарааллын нөхцлийн нийлбэр юм. Тиймээс дараалал бүрийн хувьд холбогдох дараалал байдаг ба эсрэгээр. Хэрэв {an} нь авч үзэж буй дараалал бол тухайн дарааллаар үүссэн цувааг дараах байдлаар илэрхийлж болно:
Тиймээс дээрх жишээнд холбогдох цуврал нь 1+1/2+1 байна. /3+ … + 1/ n + ….
Нэрнээс нь харахад хүч цуваа нь цувралын тусгай төрөл бөгөөд Тоон анализ болон холбогдох математик загварчлалд өргөн хэрэглэгддэг. Тейлорын цуврал нь сайн мэддэг функцуудыг төлөөлөх өөр, удирдахад хялбар аргыг өгдөг тусгай хүчирхэг цуврал юм.
Power цуврал гэж юу вэ?
Хүчтэй цуваа нь хэлбэрийн цуваа юм
энэ нь c дээр төвлөрсөн зарим интервалд нийлдэг (боломжтой). anкоэффициент нь бодит эсвэл комплекс тоо байж болох ба x-ээс хамааралгүй; өөрөөр хэлбэл хуурамч хувьсагч.
Жишээ нь n тус бүрд an=1, c=0 гэж тохируулснаар 1+x+x2 +…..+ x+… авсан. x ε (-1, 1) үед энэ чадлын цуваа 1/(1-x) болж нийлдэгийг ажиглахад хялбар байдаг.
Х=c үед чадлын цуваа нийлдэг. Хүчний цуваа нийлдэг x-ийн бусад утгууд нь үргэлж c төвтэй нээлттэй интервал хэлбэртэй байх болно. Өөрөөр хэлбэл, 0≤ R ≤ ∞ утга байх бөгөөд ингэснээр x хангасан |x-c|≤ R бүрд чадлын цуваа нийлдэг ба x хангасан |x-c|> R -ийн хувьд чадлын цуваа зөрүүтэй байна. Энэ R утгыг чадлын цувааны нэгдэх радиус гэж нэрлэдэг (R нь ямар ч бодит утга эсвэл эерэг хязгаарыг авч болно).
Цахилгааны цувааг дараах дүрмийг ашиглан нэмж, хасах, үржүүлэх, хуваах боломжтой. Хоёр хүчирхэг цувралыг авч үзье:
Дараа нь,
өөрөөр хэлбэл гэх мэт нэр томъёог хамтад нь нэмж эсвэл хасдаг. Мөнтаних тэмдэг ашиглан хоёр зэрэглэлийн цувааг үржүүлж хуваах боломжтой.
Тэйлорын цуврал гэж юу вэ?
Тэйлорын цуваа нь интервал дээр хязгааргүй дифференциал болох f (x) функцийн хувьд тодорхойлогддог. f (x) нь c цэгт төвтэй интервал дээр дифференциал болно гэж үзье. Дараа нь -аар өгөгдсөн хүчний цуваа
-г f (x) функцийн Тейлорын цуврал өргөтгөл гэж нэрлэдэг. (Энд f(n) (c) x=c үед nthдеривативыг тэмдэглэнэ). Тоон шинжилгээнд энэ хязгааргүй өргөтгөлийн хязгаарлагдмал тооны нэр томъёог цувралууд анхны функцэд нийлдэг цэгүүдийн утгыг тооцоолоход ашигладаг.
f (x) функцийг (a, b) интервалд аналитик гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв x ε (a, b) бүрийн хувьд f (x) -ийн Тейлорын цуваа f (х) функцэд нийлдэг бол x). Жишээлбэл, 1/(1-x) нь (-1, 1) дээр аналитик байна, учир нь түүний Тейлорын өргөтгөл 1+x+x2+….+ x +… тухайн интервал дээрх функцэд нийлэх ба ex нь хаа сайгүй аналитик юм, учир нь ex-ийн Тейлор цуврал e-д нийлдэг. x бодит тоо бүрт x.
Power цуврал болон Тейлор цувралын ялгаа нь юу вэ?
1. Тейлорын цуврал нь зөвхөн тодорхой интервалд хязгааргүй дифференциал болох функцүүдэд зориулагдсан хүч чадлын цувралын тусгай ангилал юм.
2. Тейлорын цуврал нь тусгай хэлбэрийг авдаг
харин хүчирхэг цуваа нь хэлбэрийн дурын цуваа байж болно.
