Ялгарал ба дериватив
Дифференциал тооцоололд дериватив болон дифференциал нь хоорондоо нягт холбоотой боловч маш өөр бөгөөд функцтэй холбоотой хоёр чухал математик ойлголтыг илэрхийлэхэд ашиглагддаг.
Үүсмэл гэж юу вэ?
Функцийн дериватив нь функцийн утга нь оролт өөрчлөгдөхөд өөрчлөгдөх хурдыг хэмждэг. Олон хувьсагчтай функцүүдэд функцийн утгын өөрчлөлт нь бие даасан хувьсагчийн утгуудын өөрчлөлтийн чиглэлээс хамаарна. Тиймээс ийм тохиолдолд тодорхой чиглэлийг сонгож, тухайн чиглэлд чиг үүргийг нь ялгадаг. Тэр деривативыг чиглэлтэй дериватив гэж нэрлэдэг. Хэсэгчилсэн дериватив нь чиглэлтэй деривативын тусгай төрөл юм.
Вектор утгатай f функцийн деривативыг хязгаар [латекс]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac гэж тодорхойлж болно. {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] хаана ч хязгаарлагдмал байдаг. Өмнө дурьдсанчлан, энэ нь u векторын чиглэлийн дагуу f функцийн өсөлтийн хурдыг өгдөг. Нэг утгатай функцийн хувьд энэ нь деривативын сайн мэддэг тодорхойлолт болох [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\-аас 0}\\frac{f хүртэл бууруулна. (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Жишээ нь, [латекс]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] нь хаа сайгүй ялгагдах боломжтой ба дериватив нь хязгаартай тэнцүү, [латекс]\\lim_{h \\-аас 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], энэ нь [латекс]3x^{2}+4[/латекс]-тай тэнцүү. [латекс]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] зэрэг функцүүдийн деривативууд хаа сайгүй байдаг. Эдгээр нь [латекс]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] функцтэй тэнцүү байна.
Үүнийг анхны дериватив гэж нэрлэдэг. Ихэвчлэн f функцийн эхний деривативыг f (1) гэж тэмдэглэдэг. Одоо энэ тэмдэглэгээг ашиглан дээд эрэмбийн деривативуудыг тодорхойлох боломжтой болсон. [латекс]\\фрак{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\-ээс 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] нь хоёр дахь эрэмбийн чиглэлийн дериватив бөгөөд n -р деривативыг f (n)-р тэмдэглэнэ. тус бүр n, [латекс]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\-аас 0}\\frac{f^{(n) -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex] нь n th деривативыг тодорхойлдог.
Ялгах гэж юу вэ?
Ялгаварлах гэдэг нь дифференциалагдах функцийн деривативыг олох үйл явц юм. D-ээр тэмдэглэсэн D-оператор нь зарим контекст дэх ялгааг илэрхийлдэг. Хэрэв x нь бие даасан хувьсагч бол D ≡ d/dx. D-оператор нь шугаман оператор бөгөөд өөрөөр хэлбэл ямар ч хоёр дифференциалагдах f ба g функц ба тогтмол c-ийн хувьд дараах шинж чанаруудыг хадгална.
Би. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
D-операторыг ашигласнаар ялгахтай холбоотой бусад дүрмийг дараах байдлаар илэрхийлж болно. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2ба D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Жишээ нь, F(x)=x 2sin x-ийг өгөгдсөн дүрмийн дагуу х-ээс ялгах үед хариулт нь 2 x sin x + xбайх болно. 2cos x.
Ялгавар болон дериватив хоёрын ялгаа юу вэ?• Дериватив нь функцийн өөрчлөлтийн хурдыг хэлнэ • Дифференциал гэдэг нь функцийн деривативыг олох үйл явц юм. |
