Дериватив ба дифференциал
Дифференциал тооцоонд функцийн дериватив ба дифференциал нь хоорондоо нягт холбоотой боловч тэс өөр утгатай бөгөөд дифференциал функцтэй холбоотой хоёр чухал математик объектыг илэрхийлэхэд ашиглагддаг.
Үүсмэл гэж юу вэ?
Функцийн дериватив нь функцийн утга нь оролт өөрчлөгдөхөд өөрчлөгдөх хурдыг хэмждэг. Олон хувьсагчтай функцүүдэд функцийн утгын өөрчлөлт нь бие даасан хувьсагчийн утгуудын өөрчлөлтийн чиглэлээс хамаарна. Тиймээс ийм тохиолдолд тодорхой чиглэлийг сонгож, тухайн чиглэлд чиг үүргийг нь ялгадаг. Тэр деривативыг чиглэлтэй дериватив гэж нэрлэдэг. Хэсэгчилсэн дериватив нь чиглэлтэй деривативын тусгай төрөл юм.
Вектор утгатай f функцийн деривативыг хязгаар [латекс]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac гэж тодорхойлж болно. {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] хаана ч хязгаарлагдмал байдаг. Өмнө дурьдсанчлан, энэ нь u векторын чиглэлийн дагуу f функцийн өсөлтийн хурдыг өгдөг. Нэг утгатай функцийн хувьд энэ нь деривативын сайн мэддэг тодорхойлолт болох [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\-аас 0}\\frac{f хүртэл бууруулна. (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Жишээ нь, [латекс]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] нь хаа сайгүй ялгагдах боломжтой ба дериватив нь хязгаартай тэнцүү, [латекс]\\lim_{h \\-аас 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], энэ нь [латекс]3x^{2}+4[/латекс]-тай тэнцүү. [латекс]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] зэрэг функцүүдийн деривативууд хаа сайгүй байдаг. Эдгээр нь [латекс]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] функцтэй тэнцүү байна.
Үүнийг анхны дериватив гэж нэрлэдэг. Ихэвчлэн f функцийн эхний деривативыг f (1) гэж тэмдэглэдэг. Одоо энэ тэмдэглэгээг ашиглан дээд эрэмбийн деривативуудыг тодорхойлох боломжтой болсон. [латекс]\\фрак{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\-ээс 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] нь хоёр дахь эрэмбийн чиглэлийн дериватив бөгөөд n -р деривативыг f (n)-р тэмдэглэнэ. тус бүр n, [латекс]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\-аас 0}\\frac{f^{(n) -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex] нь n th деривативыг тодорхойлдог.
Дифференциал гэж юу вэ?
Функцийн дифференциал нь бие даасан хувьсагч эсвэл хувьсагчийн өөрчлөлттэй холбоотой функцийн өөрчлөлтийг илэрхийлдэг. Ердийн тэмдэглэгээнд x нэг хувьсагчийн өгөгдсөн f функцийн хувьд 1 df дарааллын нийт дифференциал нь [латекс]df=f^{1}(x)dx[/latex]-ээр өгөгдөнө. Энэ нь x-ийн хязгааргүй бага өөрчлөлтийн хувьд (өөрөөр хэлбэл d x) f-д f (1)(x)d x өөрчлөлт гарна гэсэн үг.
Хязгаарлалтуудыг ашигласнаар дараах тодорхойлолт гарч ирнэ. ∆ x нь дурын x цэг дээрх x-ийн өөрчлөлт, ∆ f нь f функцийн харгалзах өөрчлөлт гэж үзье. ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, энд ϵ нь алдаа гэдгийг харуулж болно. Одоо хязгаар ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (деривативын өмнө дурдсан тодорхойлолтыг ашиглан) ба иймээс ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Тиймээс үүнийг хийх боломжтой. гэж дүгнэж, ∆ x→ 0 ϵ=0. Одоо ∆ x→ 0 ∆ f-г d f, ∆ x→ 0 ∆ x-г d x гэж тэмдэглэвэл дифференциалын тодорхойлолтыг хатуу гаргаж авна.
Жишээ нь, [латекс]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] функцийн дифференциал нь [латекс](3x^{2}+4)dx[/латекс].
Хоёр ба түүнээс дээш хувьсагчийн функцүүдийн хувьд функцийн нийт дифференциал нь бие даасан хувьсагч бүрийн чиглэл дэх дифференциалуудын нийлбэрээр тодорхойлогддог. Математикийн хувьд үүнийг [латекс]df=\\ нийлбэр_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex] гэж тодорхойлж болно..
Дериватив ба дифференциал хоёрын ялгаа юу вэ?
• Үүсмэл гэдэг нь функцийн өөрчлөлтийн хурдыг хэлдэг бол дифференциал нь бие даасан хувьсагч өөрчлөгдөх үед функцийн бодит өөрчлөлтийг хэлнэ.
• Деривативыг [латекс]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ гэж өгөгдсөн. h}[/latex], гэхдээ дифференциал нь [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]-ээр өгөгдсөн.
