Бином ба хэвийн тархалт
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт нь статистикийн салбарт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Эдгээр магадлалын тархалтаас хоёр нэрийн тархалт ба хэвийн тархалт нь бодит амьдрал дээр хамгийн түгээмэл тохиолддог хоёр зүйл юм.
Хономын тархалт гэж юу вэ?
Биномын тархалт нь X санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй харгалзах магадлалын тархалт бөгөөд энэ нь бие даасан тийм/үгүй туршилтуудын төгсгөлөг дарааллын амжилтын тоо бөгөөд тус бүр нь амжилтанд хүрэх магадлал p. X-ийн тодорхойлолтоос харахад энэ нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн болох нь тодорхой байна; тиймээс бином тархалт бас салангид байна.
Тархалтыг X ~ B (n, p) гэж тэмдэглэсэн бөгөөд n нь туршилтын тоо, p нь амжилтанд хүрэх магадлал юм. Магадлалын онолын дагуу бид B (n, p) магадлалын массын функцийг дагадаг гэж дүгнэж болно [латекс] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p))^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/латекс]. Энэ тэгшитгэлээс цаашид X, E(X)=np -ийн хүлээгдэж буй утга ба X, V(X)=np (1- p) -ийн дисперсийг дүгнэж болно.
Жишээ нь зоос 3 удаа шидэх санамсаргүй туршилтыг авч үзье. Амжилтыг H олж авах, бүтэлгүйтлийг T олж авах, Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг туршилтын амжилтын тоо гэж тодорхойл. Дараа нь X ~ B (3, 0.5) ба X-ийн магадлалын массын функц нь [латекс] \binom{3}{k} 0-ээр өгөгдсөн.5^{k} (0.5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Тиймээс хамгийн багадаа 2 H-г авах магадлал нь P(X ≥ 2)=P (X=2 эсвэл X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 байна. C2(0.52)(0.51) + 3 C3(0.53)(0.50)=0.375 + 0.125=0.5.
Хэвийн тархалт гэж юу вэ?
Хэвийн тархалт нь магадлалын нягтын функц, [латекс] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi-ээр тодорхойлогдсон магадлалын тасралтгүй тархалт юм. \\сигма^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/латекс]. [латекс] \mu ба \\ сигма [/латекс] параметрүүд нь сонирхож буй хүн амын дундаж болон стандарт хазайлтыг илэрхийлдэг. [латекс] \mu=0 ба \\сигма=1 [/латекс] үед тархалтыг стандарт хэвийн тархалт гэнэ.
Байгалийн үзэгдлийн ихэнх нь хэвийн тархалтыг дагадаг тул энэ тархалтыг хэвийн гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, хүн амын IQ нь хэвийн тархалттай байдаг. Графикаас харахад энэ нь нэг хэв маягтай, дундаж утгаараа тэгш хэмтэй, хонх хэлбэртэй байна. Дундаж, горим, медиан нь давхцаж байна. Муруй доорх талбай нь өгөгдсөн нөхцөлийг хангасан хүн амын хэсэгтэй тохирч байна.
[латекс] (\му – \\сигма, \\му + \\сигма) [/латекс], [латекс] (\му – 2 \\сигма) интервал дахь популяцийн хэсгүүд \\ му + 2 \\ сигма) [/латекс], [латекс] (\ му – 3 \\ сигма, \\ му + 3 \\ сигма) [/латекс] нь ойролцоогоор 68.2%, 95.6% ба 99.8% байна. тус тус.
Бином болон хэвийн тархалтын ялгаа нь юу вэ?
- Биномын тархалт нь салангид магадлалын тархалт, харин хэвийн тархалт нь тасралтгүй тархалт юм.
- Дуномын тархалтын магадлалын массын функц нь [латекс]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/латекс], харин хэвийн тархалтын магадлалын нягтын функц нь [латекс] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma байна. ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- Биномын тархалт нь тодорхой нөхцөлд хэвийн тархалттай ойролцоо байх боловч эсрэгээрээ биш.
