Арифметик дараалал ба геометрийн дарааллын хоорондох ялгаа

2024 Зохиолч: Alex Aldridge | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-17 23:41

Арифметик дараалал ба геометрийн дараалал

Тоонуудын зүй тогтол, тэдгээрийн зан төлөвийг судлах нь математикийн салбарын чухал судалгаа юм. Ихэнхдээ эдгээр хэв маяг нь байгальд харагддаг бөгөөд тэдний зан төлөвийг шинжлэх ухааны үүднээс тайлбарлахад тусалдаг. Арифметик дараалал болон геометрийн дараалал нь тоон доторх хоёр үндсэн загвар бөгөөд байгалийн үзэгдэлд ихэвчлэн олддог.

Дараалал нь эрэмбэлэгдсэн тоонуудын багц юм. Дарааллын элементүүдийн тоо төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно.

Арифметик дарааллын талаар дэлгэрэнгүй мэдээлэл (Арифметрийн прогресс)

Арифметик дараалал нь дараалсан гишүүн бүрийн хооронд тогтмол зөрүүтэй тоонуудын дараалал гэж тодорхойлогддог. Үүнийг мөн арифметик прогресс гэж нэрлэдэг.

Арифметик дараалал ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; хаана a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d гэх мэт.}

Хэрэв эхний гишүүн a₁ бөгөөд нийтлэг ялгаа нь d бол дарааллын n^{-р гишүүнийг дараах байдлаар өгнө;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Дээрх үр дүнг цааш нь авч үзвэл n^{-р нэр томъёог мөн; гэж өгч болно.}

a_n =a_m + (n-m)d, энд a_{m нь санамсаргүй нэр томъёо юм n > м. байх дарааллаар}

Тэгш болон сондгой тооны олонлог нь арифметик дарааллын хамгийн энгийн жишээнүүд бөгөөд дараалал бүр нь 2-ын нийтлэг ялгаа (d)-тай байдаг.

Дараалсан гишүүний тоо хязгааргүй эсвэл төгсгөлтэй байж болно. Хязгааргүй тохиолдолд (n → ∞) дараалал нь нийтлэг ялгаанаас (a_{n → ±∞) хамааран хязгааргүй болох хандлагатай байдаг. Хэрэв нийтлэг ялгаа эерэг бол (d > 0) дараалал эерэг хязгааргүй байх хандлагатай, хэрэв нийтлэг ялгаа сөрөг байвал (d < 0) сөрөг хязгааргүй рүү чиглэнэ. Хэрэв нөхцөлүүд төгсгөлтэй бол дараалал нь мөн төгсгөлтэй байна.}

Арифметик дарааллын гишүүдийн нийлбэрийг арифметик цуваа гэж нэрлэдэг: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{болон S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] утгыг өгнө цуврал (S}n)

Геометрийн дараалал (Геометрийн прогресс)-ийн талаар дэлгэрэнгүй

Геометрийн дараалал нь дараалсан хоёр гишүүний категори нь тогтмол байх дарааллаар тодорхойлогддог. Үүнийг мөн геометр прогресс гэж нэрлэдэг.

Геометрийн дараалал ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; хаана a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r гэх мэт, r нь бодит тоо.}

Геометрийн дарааллыг нийтлэг харьцаа (r) болон эхний гишүүн (a) ашиглан дүрслэх нь илүү хялбар байдаг. Эндээс геометрийн дараалал ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

aⁿ =a₁r-аар өгөгдсөн n_th нэр томъёоны ерөнхий хэлбэр ^n-1. (Эх үгийн доод тэмдгийг алдлаа ⇒ a_n =ar^n-1)

Геометрийн дараалал нь мөн төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Хэрэв гишүүний тоо хязгаартай бол дарааллыг төгсгөлтэй гэж үзнэ. Хэрэв нөхцөлүүд хязгааргүй бол r харьцаанаас хамааран дараалал нь төгсгөлгүй эсвэл төгсгөлтэй байж болно. Нийтлэг харьцаа нь геометрийн дарааллын олон шинж чанарт нөлөөлдөг.

r > o	0 < r < +1	Дараалал нийлдэг – экспоненциал задрал, өөрөөр хэлбэл an → 0, n → ∞
	r=1	Тогтмол дараалал, өөрөөр хэлбэл an=тогтмол
	r > 1	Дараалал зөрүүтэй – экспоненциал өсөлт, өөрөөр хэлбэл an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Дараалал нь хэлбэлзэж байгаа боловч нийлдэг
	r=1	Дараалал нь ээлжлэн, тогтмол, өөрөөр хэлбэл an=±тогтмол
	r < -1	Дараалал нь ээлжлэн, зөрүүтэй байна. өөрөөр хэлбэл an → ±∞, n → ∞
r=0	Дараалал нь тэгийн мөр

Н. Б: Дээрх бүх тохиолдолд, a₁ > 0; хэрэв a₁ < 0 бол a_{n-тай холбоотой тэмдгүүд урвуу болно.}

Бөмбөлөгний үсрэх хоорондох хугацааны интервал нь хамгийн тохиромжтой загварт геометрийн дарааллыг дагадаг бөгөөд энэ нь нэгдэх дараалал юм.

Геометрийн дарааллын гишүүдийн нийлбэрийг геометрийн цуваа гэж нэрлэдэг; S_n =ар+ ар² + ар³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Геометрийн цувааны нийлбэрийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); Энд a нь анхны гишүүн, r нь харьцаа юм.}

Хэрэв харьцаа r ≤ 1 бол цуваа нийлнэ. Хязгааргүй цувааны хувьд нийлбэрийн утгыг S_{n=a/(1-r)-аар өгнө.}

Арифметик ба геометрийн дараалал/прогресс юугаараа ялгаатай вэ?

• Арифметик дараалалд дараалсан хоёр гишүүний нийтлэг ялгаа (d) байдаг бол геометрийн дараалалд дараалсан хоёр гишүүн нь тогтмол категоритой (r) байна.

• Арифметик дараалалд гишүүдийн хэлбэлзэл нь шугаман байна, өөрөөр хэлбэл бүх цэгийг дайран шулуун шугам зурж болно. Геометрийн цувралд хэлбэлзэл нь экспоненциал юм; нийтлэг харьцаанд тулгуурлан өсөх эсвэл муудах.

• Бүх хязгааргүй арифметик дараалал нь салангид байдаг бол хязгааргүй геометрийн цуваа нь дивергент эсвэл нийлэх байж болно.

• Хэрэв r харьцаа сөрөг байвал геометрийн цуваа хэлбэлзлийг харуулах боломжтой, харин арифметик цуваа хэлбэлзлийг харуулахгүй