Ортогональ ба Ортонормаль
Математикийн хувьд ортогональ ба ортонормаль гэсэн хоёр үгийг векторын хамт байнга хэрэглэдэг. Энд "вектор" гэсэн нэр томъёо нь шугаман алгебрт хэрэглэгддэг алгебрийн бүтэц болох вектор орон зайн элемент гэсэн утгаар хэрэглэгддэг. Хэлэлцүүлгийн хувьд бид дотоод бүтээгдэхүүний орон зайг авч үзэх болно – вектор орон зай V ба дотоод бүтээгдэхүүн V дээр тодорхойлсон.
Жишээ нь, дотоод бүтээгдэхүүний хувьд орон зай нь ердийн цэгийн үржвэрийн хамт бүх 3 хэмжээст байрлалын векторуудын багц юм.
Ортогональ гэж юу вэ?
Дотоод үржвэрийн орон зайн V-ийн хоосон биш дэд олонлогийг S-ийг ортогональ гэж хэлнэ, хэрэв S дахь тодорхой u, v тус бүрийн хувьд [u, v]=0; өөрөөр хэлбэл u ба v-ийн дотоод үржвэр нь дотоод үржвэрийн орон зай дахь тэг скаляртай тэнцүү байна.
Жишээ нь, бүх 3 хэмжээст байрлалын векторуудын олонлогт энэ нь S дахь p ба q байрлалын векторуудын тодорхой хос бүрийн хувьд p ба q нь бие биедээ перпендикуляр байна гэсэнтэй тэнцэнэ. (Энэ вектор орон зай дахь дотоод үржвэр нь цэгэн үржвэр гэдгийг санаарай. Мөн хоёр векторын цэгийн үржвэр нь зөвхөн хоёр вектор бие биендээ перпендикуляр байвал 0-тэй тэнцүү байна.)
3 хэмжээст байрлалын векторуудын дэд олонлог болох S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)} олонлогийг авч үзье. (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0) гэдгийг ажигла., 5)=0. Тиймээс S олонлог нь ортогональ байна. Ялангуяа дотоод үржвэр нь 0 бол хоёр векторыг ортогональ гэж нэрлэдэг. Иймд хос вектор бүр Sis ортогональ байна.
Ортонормаль гэж юу вэ?
Дотоод үржвэрийн орон зай V-ийн хоосон биш дэд олонлогийг S нь ортогональ бөгөөд S-ийн u вектор бүрийн хувьд [u, u]=1 тохиолдолд ортонормаль гэж нэрлэгддэг. Иймээс эндээс харж болно. Ортонормаль олонлог бүр ортогональ боловч эсрэгээр биш.
Жишээ нь, бүх 3 хэмжээст байрлалын векторуудын олонлогт энэ нь S дахь p ба q байрлалын векторуудын тодорхой хос бүрийн хувьд p ба q нь бие биедээ перпендикуляр байна гэсэнтэй тэнцэнэ. p бүр S, |p|=1. Учир нь [p, p]=1 нөхцөл нь p.p=|p||p|cos0=|p|2=1 болж буурдаг нь |p-тэй тэнцүү байна. |=1. Иймд ортогональ олонлог өгөгдсөн тохиолдолд бид вектор бүрийг магнитудад нь хувааж харгалзах ортонормаль олонлогийг үүсгэж болно.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} нь бүх 3 хэмжээст байрлалын векторуудын олонлогийн ортонормаль дэд олонлог юм. Энэ нь S олонлогийн вектор тус бүрийг магнитудад нь хуваах замаар олж авсан болохыг хялбархан харж болно.
Ортогональ ба ортонормаль хоёрын ялгаа юу вэ?
- Дотоод үржвэрийн орон зайн V-ийн хоосон биш дэд олонлогийг S-ийг ортогональ гэж нэрлэдэг, хэрэв S-ийн ялгаатай u, v тус бүрийн хувьд [u, v]=0. Гэсэн хэдий ч, хэрэв болон бол энэ нь ортонормаль юм. зөвхөн нэмэлт нөхцөл - S дахь u вектор бүрийн хувьд [u, u]=1 хангагдсан тохиолдолд.
- Ямар ч ортонормаль олонлог нь ортогональ боловч эсрэгээр биш.
- Аливаа ортогональ олонлог нь өвөрмөц ортогональ олонлогтой тохирдог боловч ортогональ олонлогууд олон тооны ортогональ олонлогуудтай тохирч болно.
