Кардинал ба Ординал
Бидний өдөр тутмын амьдралд янз бүрийн нөхцөлд тоонуудын хэрэглээ өөр өөр хэлбэртэй байж болно. Жишээлбэл, бид объектын цуглуулгын хэмжээг тооцоолохдоо тэдгээрийг нэг, хоёр, гурав гэх мэтээр тоолдог. Объектуудын байрлалыг ойлгохын тулд ямар нэг зүйлийг тоолохыг хүсвэл бид тэдгээрийг нэгдүгээрт, хоёрдугаарт, гуравдугаарт гэх мэтээр тоолдог. Тоолох эхний хэлбэрт тоог үндсэн тоо гэж нэрлэдэг. Тоолох хоёр дахь хэлбэрээр тоонуудыг дарааллын тоо гэж үздэг. Энэ хүрээнд үндсэн ба дарааллын гэсэн ойлголтууд нь бүхэлдээ хэл шинжлэлийн асуудал юм; cardinal болон ordinal нь нэр үг юм.
Гэсэн хэдий ч математикийн ойлголтыг олонлог болгон өргөтгөх нь илүү гүн гүнзгий, өргөн хүрээг хамарсан хэтийн төлөвийг харуулж байгаа бөгөөд үүнийг энгийн үгээр авч үзэх боломжгүй юм. Энэ өгүүллээр бид математикийн үндсэн ба дарааллын тооны үндсэн ойлголтуудыг ойлгохыг хичээх болно.
Үндсэн ба дарааллын тооны албан ёсны тодорхойлолтыг олонлогийн онолд өгсөн болно. Тодорхойлолт нь нарийн төвөгтэй бөгөөд тэдгээрийг төгс утгаар нь ойлгохын тулд олонлогийн онолын суурь мэдлэг хэрэгтэй. Тиймээс бид ухагдахууныг эвристик аргаар ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг авч үзэх болно.
{1, 3, 6, 4, 5, 2} ба {автобус, машин, гатлага онгоц, галт тэрэг, онгоц, нисдэг тэрэг} гэсэн хоёр багцыг авч үзье. Багц бүр элементийн багцыг жагсаадаг бөгөөд хэрэв бид элементийн тоог тоолвол тус бүр нь ижил тооны элементтэй болох нь тодорхой болно, энэ нь 6 юм. Энэ дүгнэлтэд хүрснээр бид нэг багцын хэмжээг авч, өөр нэг багцыг ашиглан харьцуулсан болно. тоо. Ийм тоог үндсэн тоо гэж нэрлэдэг. Тиймээс бид үндсэн тоо нь төгсгөлтэй олонлогуудын хэмжээг харьцуулахдаа ашиглаж болох тоо гэж хэлж болно.
Дахин хэлэхэд эхний багц тоонуудыг элемент бүрийн хэмжээг харгалзан өсөх дарааллаар байрлуулж, тэдгээрийг харьцуулж болно. Захиалга хийх явцад тоонуудыг кардинал гэж үздэг. Үүний нэгэн адил бүх сөрөг бус бүхэл тоонуудын олонлогийг олонлогоор захиалж болно; өөрөөр хэлбэл {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Гэхдээ энэ тохиолдолд багцын хэмжээ хязгааргүй болж, дарааллын хувьд өгөх боломжгүй юм. Та багцын хэмжээг өгөхийн тулд хичнээн том тоо сонгосон ч гэсэн таны сонгосон олонлогоос хасах болон сөрөг бус бүхэл тоонууд үлдэнэ.
Тиймээс математикчид энэхүү хязгааргүй кардиналыг (энэ нь анхных нь) א (Еврей цагаан толгойн эхний үсэг) гэж бичсэн Алеф-0 гэж тодорхойлдог. Албан ёсоор эрэмбийн тоо нь сайн эрэмбэлэгдсэн багцын захиалгын төрөл юм. Иймд төгсгөлтэй олонлогуудын дарааллын тоог үндсэн тоогоор өгч болох ч хязгааргүй олонлогийн хувьд Aleph-0 гэх мэт трансфинит тоогоор эрэмбэлэгдэнэ.
Кардинал ба дарааллын тоо юугаараа ялгаатай вэ?
• Үндсэн тоо нь тоолох эсвэл хязгаарлагдмал эрэмблэгдсэн багцын хэмжээг өгөхөд ашиглаж болох тоо юм. Бүх үндсэн тоо нь дарааллын тоо юм.
• Ээлжийн тоо нь төгсгөлтэй болон хязгааргүй эрэмбэлэгдсэн олонлогийн хэмжээг өгөхөд хэрэглэгддэг тоо юм. Хязгаарлагдмал эрэмбэлэгдсэн олонлогуудын хэмжээг ердийн Хинду-Араб алгебр тоогоор, харин хязгааргүй олонлогийн хэмжээг дамжуулагч тоогоор тодорхойлно.
