Шугаман ба Шугаман бус дифференциал тэгшитгэл
Ядаж нэг дифференциал коэффициент эсвэл үл мэдэгдэх хувьсагчийн дериватив агуулсан тэгшитгэлийг дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Дифференциал тэгшитгэл нь шугаман болон шугаман бус байж болно. Энэ өгүүллийн хамрах хүрээ нь шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ, шугаман бус дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ, шугаман ба шугаман бус дифференциал тэгшитгэлийн ялгаа юу болохыг тайлбарлах болно.
18-р зуунд Ньютон, Лейбниц зэрэг математикчид тооцоолол хөгжүүлснээс хойш дифференциал тэгшитгэл нь математикийн түүхэнд чухал үүрэг гүйцэтгэсэн. Дифференциал тэгшитгэл нь хэрэглээний цар хүрээгээрээ математикт чухал ач холбогдолтой юм. Дифференциал тэгшитгэл нь физик, инженерчлэл, хими, статистик, санхүүгийн шинжилгээ, биологи (жагсаалт эцэс төгсгөлгүй) зэрэг дэлхийн аль ч хувилбар, үйл явдлыг тайлбарлах загвар бүрийн гол цөм нь байдаг. Үнэн хэрэгтээ тооцоолол нь тогтсон онол болох хүртэл байгаль дээрх сонирхолтой бодлогуудыг шинжлэхэд математикийн зохих хэрэгслүүд боломжгүй байсан.
Тооцооллын тодорхой хэрэглээний үр дүнд бий болсон тэгшитгэлүүд нь маш төвөгтэй бөгөөд заримдаа шийдвэрлэх боломжгүй байж болно. Гэсэн хэдий ч бидний шийдэж чадах зүйл байдаг, гэхдээ адилхан, төөрөгдөлтэй байж болох юм. Тиймээс ялгах тэгшитгэлийг илүү хялбар тодорхойлохын тулд математикийн үйлдлээр нь ангилдаг. Шугаман ба шугаман бус нь ийм ангиллын нэг юм. Шугаман ба шугаман бус дифференциал тэгшитгэлийн ялгааг тодорхойлох нь чухал.
Шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?
f: X→Y ба f(x)=y, үл мэдэгдэх y функц ба түүний деривативын шугаман бус гишүүнчлэлгүй дифференциал тэгшитгэлийг шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэнэ гэж бодъё.
Энэ нь y-д y2, y3, … гэх мэт илүү өндөр индексийн нөхцөлтэй байж болохгүй гэсэн нөхцөлийг тавьдаг.
Мөн Sin y, e y ^-2 эсвэл ln y зэрэг шугаман бус нэр томъёог агуулж болохгүй. Энэ ньхэлбэртэй байна
энд y ба g нь x функц юм. Тэгшитгэл нь хамгийн дээд эрэмбийн деривативын индекс болох n дарааллын дифференциал тэгшитгэл юм.
Шугаман дифференциал тэгшитгэлд дифференциал оператор нь шугаман оператор бөгөөд шийдлүүд нь вектор орон зайг бүрдүүлдэг. Шийдлийн багцын шугаман шинж чанарын үр дүнд шийдлүүдийн шугаман хослол нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм. Өөрөөр хэлбэл, y1 ба y2 нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл бол C1 y байна. 1+ C2 y2 нь бас шийдэл юм.
Тэгшитгэлийн шугаман байдал нь ангиллын зөвхөн нэг параметр бөгөөд үүнийг цаашид нэгэн төрлийн эсвэл нэгэн төрлийн бус, энгийн эсвэл хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл гэж ангилж болно. Хэрэв функц g=0 бол тэгшитгэл нь шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл болно. Хэрэв f нь хоёр ба түүнээс дээш бие даасан хувьсагчийн функц (f: X, T→Y) ба f(x, t)=y, тэгшитгэл нь шугаман хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл болно.
Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх арга нь дифференциал тэгшитгэлийн төрөл, коэффициентээс хамаарна. Коэффициент тогтмол байх үед хамгийн хялбар тохиолдол гардаг. Энэ тохиолдлын сонгодог жишээ бол Ньютоны хөдөлгөөний хоёр дахь хууль ба түүний янз бүрийн хэрэглээ юм. Ньютоны хоёр дахь хууль нь тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг үүсгэдэг.
Шугаман бус дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?
Шугаман бус нэр томъёо агуулсан тэгшитгэлийг шугаман бус дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Дээрх бүгд шугаман бус дифференциал тэгшитгэл юм. Шугаман бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэцүү тул зөв шийдлийг олж авахын тулд сайтар судлах шаардлагатай. Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд ихэнх тэгшитгэлүүд ерөнхий шийдэлгүй байдаг. Тиймээс тэгшитгэл бүрийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай.
Навиер-Стоксын тэгшитгэл ба шингэний динамик дахь Эйлерийн тэгшитгэл, Эйнштейний харьцангуй ерөнхий онолын талбайн тэгшитгэлүүд нь шугаман бус хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлүүд юм. Заримдаа хувьсах системд Лагранжийн тэгшитгэлийг хэрэглэснээр шугаман бус хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн системийг үүсгэж болно.
Шугаман ба шугаман бус дифференциал тэгшитгэлийн ялгаа нь юу вэ?
• Үл мэдэгдэх эсвэл хамааралтай хувьсагчийн зөвхөн шугаман гишүүн ба түүний деривативуудыг агуулсан дифференциал тэгшитгэлийг шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Энэ нь 1-ээс дээш индексийн хамааралтай хувьсагчтай нэр томъёогүй бөгөөд түүний олон деривативыг агуулаагүй болно. Энэ нь хамааралтай хувьсагчийн хувьд тригонометрийн функц, экспоненциал функц, логарифм функц зэрэг шугаман бус функцтэй байж болохгүй. Дээр дурдсан нэр томъёог агуулсан аливаа дифференциал тэгшитгэл нь шугаман бус дифференциал тэгшитгэл юм.
• Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь вектор орон зайг үүсгэдэг ба дифференциал оператор нь мөн вектор орон зайд шугаман оператор юм.
• Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүд харьцангуй хялбар бөгөөд ерөнхий шийдлүүд байдаг. Шугаман бус тэгшитгэлийн хувьд ихэнх тохиолдолд ерөнхий шийдэл байдаггүй бөгөөд шийдэл нь асуудалд зориулагдсан байж болно. Энэ нь шийдлийг шугаман тэгшитгэлээс хамаагүй хэцүү болгодог.
