Лаплас ба Фурьегийн хувиргалт
Лапласын хувиргалт ба Фурьегийн хувиргалт хоёулаа интеграл хувиргалт бөгөөд эдгээрийг математик загварчилсан физик системийг шийдвэрлэх математик арга болгон ихэвчлэн ашигладаг. Процесс нь энгийн. Нарийн төвөгтэй математик загварыг интеграл хувиргалтыг ашиглан илүү энгийн, шийдвэрлэх боломжтой загвар болгон хувиргадаг. Энгийн загварыг шийдсэний дараа урвуу интеграл хувиргалтыг ашиглах бөгөөд энэ нь анхны загварт шийдлийг өгөх болно.
Жишээ нь, ихэнх физик системүүдийн үр дүнд дифференциал тэгшитгэл үүсдэг тул тэдгээрийг интеграл хувиргалтыг ашиглан алгебрийн тэгшитгэл эсвэл бага зэрэгтэй хялбар шийдэгдэх дифференциал тэгшитгэл болгон хувиргаж болно. Тэгвэл асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбар болно.
Лапласын хувиргалт гэж юу вэ?
Бодит t хувьсагчийн f (t) функц өгөгдсөн бол түүний Лапласын хувиргалтыг [латекс] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- интегралаар тодорхойлно. st}f(t)dt [/latex] (байгаа үед), энэ нь s нийлмэл хувьсагчийн функц юм. Үүнийг ихэвчлэн L { f (t)} гэж тэмдэглэдэг. F (s) функцийн урвуу Лаплас хувиргалтыг f (t) функц гэж L { f (t)}=F (s) гэж авдаг ба ердийн математик тэмдэглэгээнд Lгэж бичдэг. -1{ F (s)}=f (t). Хэрэв тэг функцийг зөвшөөрөхгүй бол урвуу хувиргалтыг өвөрмөц болгож болно. Эдгээр хоёрыг функцийн орон зайд тодорхойлсон шугаман операторууд гэж тодорхойлж болох ба L -1{ L { f (t)}}=f (t) гэдгийг харахад хялбар байдаг., хэрэв null функцийг зөвшөөрөхгүй бол.
Дараах хүснэгтэд хамгийн түгээмэл функцүүдийн Лапласын хувиргалтыг жагсаасан болно.
Фурьегийн хувиргалт гэж юу вэ?
Бодит хувьсагчийн f (t) функц өгөгдсөн t, түүний Лаплас хувиргалтыг [латекс] F(\альфа)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ интегралаар тодорхойлно. pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/латекс] (байгаа үед) ба үүнийг ихэвчлэн F { f гэж тэмдэглэдэг. (t)}. F -1{ F (α)}-ийн урвуу хувиргалтыг [латекс] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi интегралаар өгөв. }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Фурье хувиргалт нь мөн шугаман бөгөөд функцийн орон зайд тодорхойлогдсон оператор гэж үзэж болно.
Фурье хувиргалтыг ашигласнаар уг функц нь зөвхөн хязгаарлагдмал тооны тасалдалтай бөгөөд бүрэн интегралчлагдах боломжтой тохиолдолд анхны функцийг дараах байдлаар бичиж болно.
Лаплас болон Фурьегийн хувиргалтуудын ялгаа нь юу вэ?
- f (t) функцийн Фурье хувиргалтыг [латекс] F(\альфа)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / гэж тодорхойлсон. \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/латекс], харин түүний лаплас хувиргалтыг [латекс] F(s)=\\int_{ гэж тодорхойлсон. 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/латекс].
- Фурье хувиргалт нь зөвхөн бүх бодит тоонуудад тодорхойлогдсон функцүүдэд тодорхойлогддог бол Лапласын хувиргалт нь сөрөг бодит тоон дээр тодорхойлогдсон функцийг шаарддаггүй.
- Фурье хувиргалт нь Лапласын хувиргалтын онцгой тохиолдол юм. Сөрөг бус бодит тоонуудын хувьд хоёулаа давхцаж байгааг харж болно. (өөрөөр хэлбэл α ба β нь бодит байх тул e β=1/ байх тул Лаплас дахь s-ийг iα + β гэж авна. √(2ᴫ))
- Фурье хувиргалттай функц бүр Лапласын хувиргалттай байх ба эсрэгээр биш.
